큐비트 게이트를 수학적으로 읽는 방법을 압축합니다. 브라-켓과 내적에서 시작해 단일 큐비트 게이트, 텐서 확장, CX/CCX/ancilla 패턴까지 이어갑니다.
## 브라-켓과 내적 {#braket}
켓은 열벡터, 브라는 켤레전치한 행벡터입니다. 게이트는 ket에 왼쪽에서 곱하는 행렬입니다.
$$
|\psi\rangle =
\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix},
\qquad
\langle\psi| =
\begin{bmatrix}\alpha^* & \beta^*\end{bmatrix}
$$
두 상태의 내적은 겹침을 의미하고, 측정 확률은 겹침의 절댓값 제곱으로 계산됩니다.
$$
\Pr(\phi\leftarrow\psi)=|\langle\phi|\psi\rangle|^2
$$
## Pauli 게이트 {#pauli}
Pauli-X는 비트 반전, Pauli-Z는 위상 반전, Pauli-Y는 두 효과에 복소 위상까지 섞인 게이트입니다.
$$
X=
\begin{bmatrix}
0&1\\
1&0
\end{bmatrix},
\quad
Y=
\begin{bmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{bmatrix},
\quad
Z=
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{bmatrix}
$$
특히 $Z|1\rangle=-|1\rangle$처럼 부호만 바꾸는 위상 변화는 측정 전에는 직접 보이지 않지만, 다른 경로와 간섭할 때 알고리즘의 결과를 바꿉니다.
Z basis는 계산기저 $\{|0\rangle,|1\rangle\}$를 뜻합니다. 이 기저에서 $Z$는 대각행렬이고, $|0\rangle$와 $|1\rangle$는 Z의 고유상태입니다.
$$
Z|0\rangle=|0\rangle,\qquad
Z|1\rangle=-|1\rangle
$$
X basis는 $\{|+\rangle,|-\rangle\}$ 기저를 뜻합니다. 이 기저에서 $|+\rangle$와 $|-\rangle$는 X의 고유상태입니다.
$$
|+\rangle={|0\rangle+|1\rangle\over\sqrt{2}},
\qquad
|-\rangle={|0\rangle-|1\rangle\over\sqrt{2}}
$$
$$
X|+\rangle=|+\rangle,\qquad
X|-\rangle=-|-\rangle
$$
## Hadamard 게이트 {#hadamard}
Hadamard 게이트는 Z basis와 X basis를 서로 바꿔주는 기저 변환입니다. 즉 계산기저에서 보면 중첩을 만들고, X basis에서 보면 다시 계산기저로 되돌립니다.
$$
H={1\over\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{bmatrix},
\qquad
H|0\rangle=|+\rangle,\quad H|1\rangle=|-\rangle
$$
Hadamard를 한 번 더 적용하면 원래 계산기저로 돌아옵니다. 수식으로는 $H^2=I$이고, 상태별로 쓰면 아래와 같습니다.
$$
H|0\rangle=|+\rangle,\qquad
H|1\rangle=|-\rangle
$$
$$
H|+\rangle=|0\rangle,\qquad
H|-\rangle=|1\rangle
$$
그래서 회로에서 Hadamard는 단순히 “중첩을 만드는 게이트”라고만 보면 부족합니다. 더 정확히는 Z basis에서 X basis로, 또는 X basis에서 Z basis로 관측 관점을 바꾸는 게이트입니다. 예를 들어 $Z$로 보이지 않던 위상 정보가 $H$를 거친 뒤에는 계산기저 측정 결과로 드러날 수 있습니다.
## 위상 게이트 {#phase-gates}
S와 T 게이트는 $|1\rangle$ 성분의 위상을 회전합니다.
$$
S=
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&i
\end{bmatrix},
\qquad
T=
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&e^{i\pi/4}
\end{bmatrix}
$$
위상은 영어로 phase입니다. phase는 단독으로는 측정 확률을 직접 바꾸지 않는 경우가 많아서 처음에는 덜 중요해 보일 수 있습니다. 하지만 양자 알고리즘의 핵심은 여러 계산 경로의 phase를 맞추거나 어긋나게 만들어 간섭을 설계하는 데 있습니다. 그래서 S, T, $R_z(\theta)$ 같은 위상 계열 게이트는 뒤에서 phase kickback, QFT, phase estimation을 읽을 때 계속 다시 등장합니다.
## 회전 게이트 {#rotation}
Pauli 행렬을 축으로 하는 회전은 Bloch sphere에서 상태를 돌리는 연산입니다.
$$
R_x(\theta)=e^{-i\theta X/2},
\qquad
R_y(\theta)=e^{-i\theta Y/2},
\qquad
R_z(\theta)=e^{-i\theta Z/2}
$$
실제 하드웨어에서는 기본 게이트 집합이 플랫폼마다 다르므로, 회로는 보통 transpiler가 장비의 native gate로 다시 분해합니다.
## 큐비트가 늘어날 때의 텐서 확장 {#tensor-expansion}
단일 큐비트 게이트 $U$를 여러 큐비트 상태에 적용하려면 나머지 큐비트에는 항등행렬을 붙입니다.
$$
U\text{ on first qubit} = U \otimes I,
\qquad
U\text{ on second qubit} = I \otimes U
$$
큐비트가 하나 늘 때마다 상태벡터의 길이는 두 배가 됩니다.
$$
n\text{ qubits} \quad\Rightarrow\quad
2^n\text{-dimensional state vector}
$$
그래서 1큐비트 게이트를 전체 시스템 행렬로 펼치면 크기가 빠르게 커집니다. 예를 들어 10큐비트 상태에는 길이 $2^{10}=1024$인 복소 벡터가 필요합니다.
## CX 게이트 {#cx}
CX 또는 CNOT은 control 큐비트가 1일 때 target 큐비트에 X를 적용합니다.
$$
\mathrm{CX}|a,b\rangle = |a, b\oplus a\rangle
$$
$$
\mathrm{CX} =
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0
\end{bmatrix}
$$
CX는 얽힘을 만들 수 있는 대표적인 2큐비트 게이트입니다. 예를 들어 $H$ 뒤에 CX를 적용하면 Bell 상태가 됩니다.
$$
\mathrm{CX}(H\otimes I)|00\rangle
=
{ |00\rangle + |11\rangle \over \sqrt{2}}
$$
## CCX와 ancilla {#ccx}
CCX, 즉 Toffoli 게이트는 control 큐비트 두 개가 모두 1일 때 target에 X를 적용합니다.
$$
\mathrm{CCX}|a,b,c\rangle
=
|a,b,c\oplus ab\rangle
$$
이 게이트는 reversible classical computation의 핵심 재료입니다. AND 결과를 보조 큐비트에 저장할 때 자주 사용합니다.
$$
|a,b,0\rangle
\xrightarrow{\mathrm{CCX}}
|a,b,ab\rangle
$$
여기서 세 번째 큐비트처럼 계산 중간값을 담기 위해 추가로 쓰는 큐비트를 ancilla라고 부릅니다. ancilla는 계산 후 원래 상태로 되돌리는 uncomputation 과정을 거쳐야 뒤의 간섭을 망치지 않습니다.
## 게이트를 읽는 순서 {#reading}
1. 게이트가 몇 큐비트에 작용하는지 확인합니다.
2. 계산기저 상태가 어디로 가는지 먼저 봅니다.
3. 위상 변화가 있는지 확인합니다.
4. 여러 큐비트 회로라면 텐서곱으로 전체 상태공간이 커진다는 점을 기억합니다.
5. ancilla가 있다면 계산 후 uncompute되는지 확인합니다.
## 다음에 읽을 글 {#next}
- [회로 그리는 규칙](/yangja/notation)
- [제어 게이트](/yangja/controlled)
- [얽힘](/yangja/qubit-concept#entanglement)
## 참고자료 {#references}
- Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information.
- IBM Quantum Documentation, Circuit library and standard gates.
- Google Quantum AI, Cirq gates and operations documentation.