QSP/QSVT의 실질적인 입력은 “어떤 행렬 함수 $f(A)$를 어떤 다항식 $p(A)$로 근사할 것인가”입니다. 여기서 approximation theory가 회로설계의 일부가 됩니다.
## 왜 polynomial인가 {#why}
행렬 $A$에 대한 함수 $f(A)$를 직접 구현하기 어렵다면, 다항식으로 근사합니다.
$$
f(A)\approx p(A)=\sum_{k=0}^{d} c_k A^k
$$
고유값 관점에서는 $A|u_j\rangle=\lambda_j|u_j\rangle$일 때 아래가 됩니다.
$$
p(A)|u_j\rangle=p(\lambda_j)|u_j\rangle
$$
따라서 스펙트럼 구간에서 $p(x)$가 $f(x)$를 잘 근사하면 행렬 함수도 잘 근사됩니다.
## 구간 스케일링 {#interval}
Chebyshev 다항식은 보통 $x\in[-1,1]$에서 다룹니다. 행렬 스펙트럼이 다른 구간에 있으면 먼저 스케일링합니다.
$$
\tilde A={2A-(b+a)I\over b-a}
$$
그러면 $A$의 고유값이 $[a,b]$에 있을 때 $\tilde A$의 고유값은 $[-1,1]$에 들어갑니다. QSVT에서도 block-encoding은 보통 singular value가 $[-1,1]$ 또는 $[0,1]$ 범위로 정규화된 형태를 사용합니다.
## Chebyshev 다항식 {#chebyshev}
Chebyshev 다항식은 아래로 정의됩니다.
$$
T_k(x)=\cos(k\arccos x)
$$
처음 몇 개는 아래입니다.
$$
T_0(x)=1,\quad T_1(x)=x,\quad T_2(x)=2x^2-1,\quad T_3(x)=4x^3-3x
$$
여기서 가장 작은 출발점은 사인·코사인의 2배각 공식입니다. 예를 들어 $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$이므로 $x=\cos\theta$라고 두면 $T_2(x)=2x^2-1$이 바로 나옵니다. 마찬가지로 $\cos(3\theta)$를 전개하면 $T_3(x)=4x^3-3x$가 됩니다. 즉 Chebyshev는 낯선 고급 다항식이라기보다, 삼각함수 각도 곱셈을 $x$의 다항식으로 다시 쓴 것입니다.
재귀식도 중요합니다.
$$
T_{k+1}(x)=2xT_k(x)-T_{k-1}(x)
$$
Chebyshev basis는 $[-1,1]$에서 수치적으로 안정적이고, minimax 근사와 연결됩니다. 그래서 Hamiltonian simulation, QSP polynomial 설계, spectral filtering에서 자주 등장합니다.
## Chebyshev expansion {#expansion}
함수 $f(x)$를 아래처럼 전개합니다.
$$
f(x)\approx \sum_{k=0}^{d} a_k T_k(x)
$$
polynomial approximation에서 Chebyshev가 편한 이유도 2배각 감각과 이어집니다. $T_k(\cos\theta)=\cos(k\theta)$라서, 함수의 모양을 여러 주파수의 cos 성분으로 나눈 뒤 다시 $x$에 대한 다항식으로 옮겨 적는다고 볼 수 있습니다. 회로설계에서는 이 전개 계수와 필요한 차수가 곧 block-encoding 호출 횟수, phase sequence 길이, 근사 오차로 이어집니다.
복소 지수 함수에는 Bessel function 계수가 등장합니다.
$$
e^{-i\tau x}
=
J_0(\tau)+2\sum_{k=1}^{\infty}(-i)^kJ_k(\tau)T_k(x)
$$
이 식은 Hamiltonian simulation에서 $e^{-iHt}$를 Chebyshev 다항식으로 근사하는 출발점이 됩니다.
## 자주 근사하는 함수들 {#functions}
| 함수 | 쓰임 | 주의점 |
| --- | --- | --- |
| $e^{-itx}$ | Hamiltonian simulation | 차수가 시간 $t$와 오차에 의존 |
| $1/x$ | linear system | 0 근처 singularity 때문에 gap 필요 |
| $\mathrm{sign}(x)$ | projector, eigenvalue filtering | 불연속점 주변에서 높은 차수 필요 |
| step function | spectral thresholding | 전이 구간을 둬야 구현 가능 |
## QSP/QSVT의 parity 제약 {#parity}
QSP로 구현 가능한 polynomial에는 parity와 boundedness 제약이 있습니다. 대략적으로 degree $d$ polynomial은 $d$와 같은 parity를 가져야 합니다.
$$
p(-x)=(-1)^d p(x)
$$
실무적으로는 원하는 함수 $f$를 바로 근사하는 대신, 짝함수/홀함수 부분으로 나누거나 보조 polynomial을 추가해 QSP 조건을 만족시키는 방식으로 설계합니다.
## 오차를 어떻게 적는가 {#error}
근사 오차는 보통 uniform norm으로 적습니다.
$$
\|f-p\|_\infty
=
\max_{x\in D}|f(x)-p(x)|
\le \epsilon
$$
행렬 스펙트럼이 $D$ 안에 있으면 operator norm 오차도 연결됩니다.
$$
\|f(A)-p(A)\|\le\epsilon
$$
따라서 polynomial 설계 문서에는 반드시 근사 구간 $D$, 차수 $d$, 목표 오차 $\epsilon$, 함수의 gap 또는 smoothness 조건을 함께 적어야 합니다.